Citar Um Exemplo De Dízima Periódica. – Citar Um Exemplo De Dízima Periódica, como 1/3, que resulta em 0,333…, ilumina um conceito fundamental da matemática: a representação decimal de números racionais. Dízimas periódicas, também conhecidas como frações decimais infinitas periódicas, surgem quando a divisão de um inteiro por outro resulta em um decimal que se repete infinitamente, formando um padrão.
A identificação e compreensão dessas dízimas são cruciais para a manipulação e análise de números racionais em diversos contextos matemáticos.
As dízimas periódicas podem ser classificadas em dois tipos principais: simples e compostas. As dízimas periódicas simples são caracterizadas por um período que se inicia imediatamente após a vírgula decimal, como em 0,333… (período 3). As dízimas periódicas compostas, por outro lado, possuem uma parte não periódica antes do período, como em 0,12333…
(período 3). A representação fracionária de uma dízima periódica, por sua vez, é um método eficaz para expressar o valor numérico de forma compacta e precisa.
O que é uma dízima periódica?: Citar Um Exemplo De Dízima Periódica.
Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma sequência de dígitos que se repete infinitamente. Essa sequência repetitiva é chamada de período da dízima.
Características de uma dízima periódica
As dízimas periódicas são caracterizadas por:
Sequência de dígitos repetitivos
A parte decimal da dízima possui uma sequência de dígitos que se repete infinitamente.
Período
A sequência de dígitos que se repete é chamada de período da dízima.
Barra sobre o período
Para indicar que uma dízima é periódica, coloca-se uma barra sobre o período.
Exemplos de dízimas periódicas
A tabela a seguir mostra alguns exemplos de dízimas periódicas simples e seus respectivos períodos:
| Dízima Periódica | Período |
|---|---|
| 1/3 = 0,333… | 3 |
| 1/9 = 0,111… | 1 |
| 2/7 = 0,285714285714… | 285714 |
| 5/6 = 0,8333… | 3 |
Tipos de dízimas periódicas
As dízimas periódicas podem ser classificadas em dois tipos principais: dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. A distinção entre esses tipos reside na localização do período, ou seja, a sequência de dígitos que se repete.
Dízimas Periódicas Simples
As dízimas periódicas simples são caracterizadas pelo período que se inicia imediatamente após a vírgula. Em outras palavras, o período começa logo após a parte inteira do número.
Exemplo: 1,3333… (período: 3)
Dízimas Periódicas Compostas
As dízimas periódicas compostas apresentam um período que se inicia após um conjunto de dígitos não periódicos. Isto significa que existe uma parte não periódica (ante-período) antes do período se iniciar.
Exemplo: 1,23454545… (ante-período: 1,23; período: 45)
Identificação do Período
Para identificar o período de uma dízima periódica, siga estes passos:
- Identifique a parte inteira e a parte decimal do número.
- Localize a sequência de dígitos que se repete.
- A sequência de dígitos que se repete é o período.
Exemplo: 2,15454545…Parte inteira: 2 Parte decimal: 15454545… Período: 45
Representação de dízimas periódicas
As dízimas periódicas, apesar de possuírem representações decimais infinitas, podem ser expressas de forma finita como frações. Essa representação é crucial para realizar operações matemáticas com essas dízimas e facilitar o seu estudo.
Conversão de dízimas periódicas para frações
A conversão de uma dízima periódica para uma fração segue um processo sistemático, envolvendo a manipulação algébrica da representação decimal da dízima.
Para converter uma dízima periódica em uma fração, siga os seguintes passos:
- Seja
x* a dízima periódica a ser convertida.
- Multiplique
- x* por 10 elevado à potência igual ao número de dígitos no período da dízima. Por exemplo, se o período da dízima tem dois dígitos, multiplique
- x* por 100.
- Subtraia a equação original da equação resultante do passo anterior.
- Resolva a equação resultante para
x*, obtendo a fração equivalente à dízima periódica.
Exemplo passo a passo
Considere a dízima periódica 0,333…
- Seja
x* = 0,333…
- Multiplicando
x* por 10, temos 10*x* = 3,333…
- Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
- *x*
- x* = 3,333…
- 0,333…
- Simplificando, temos 9*x* = 3.
- Isolando
- x*, obtemos
- x* = 3/9.
- Simplificando a fração, temos
x* = 1/3.
Portanto, a dízima periódica 0,333… é equivalente à fração 1/3.
O estudo de dízimas periódicas é fundamental para o desenvolvimento de uma compreensão profunda dos números racionais e suas representações. A capacidade de identificar, classificar e converter dízimas periódicas para a forma fracionária amplia as ferramentas matemáticas para manipulação e análise de números racionais, abrindo portas para a resolução de problemas em diversos campos da matemática e áreas afins.